Un résultat sans chemin
« J’ai toujours tâché de vivre dans une tour d’ivoire, mais une marée de merde en bat les murs, à les faire crouler. »
Lettre de Gustave Flaubert à Ivan Tourgueniev, automne 1872
En cette rentrée, nous éprouvons le besoin d’interpeller la communauté académique sur les problèmes posés par l’intelligence artificielle générative et agentique dans une série de quatre billets. Les deux premières parties sont consacrées à l’annonce médiatisée d’une « preuve produite par OpenAI » concernant les équations de Navier-Stokes :
https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf
Nous proposons une mise en perspective scientifique du problème dont il est question. Comprendre ce problème est ardu et nos efforts de pédagogie ne suffiront sans doute pas à montrer la béance entre la production sans intégrité d’OpenAI et la nature du travail scientifique ; a minima, nous espérons que cet exercice permettra de faire sentir l’un des grands dangers de l’IA générative : cette forme d’aliénation particulière qui consiste en l’illusion de comprendre en y ayant recours. Nous recommandons aux lectrices et lecteurs enthousiastes ou décidés à « monter dans le train » de commencer par ce billet-ci.
Dans la deuxième partie, nous exposons quelques réflexions sur la nature de ce moment et posons des questions urgentes auxquelles nous pensons que chacune et chacun doit répondre pour son propre compte. Nous recommandons aux lectrices et lecteurs qui s’alarment des effets de l’IA générative et agentique sur l’enseignement supérieur et la recherche de commencer par ce deuxième billet :
https://rogueesr.fr/un-moment-dabjection/
« Si un lecteur juge simplement pittoresque l’apparition d’un p.m. Ingram à silencieux ou d’un Wz 63, il ne sait pas lire. Si un écrivain utilise les mêmes ustensiles dans un but pittoresque, cet écrivain ne sait ni lire ni écrire. Les moyens jugent leur fin. L’instrumentation est une affaire de morale. »
Jean-Patrick Manchette
Un résultat sans chemin
S’appuyant sur l’édifice conceptuel bâti par les savants du XVIIᵉ siècle, de Kepler à Newton en passant par Hooke, pour formuler la gravitation universelle et mathématiser le mouvement des planètes, des générations de physiciens ont uni leurs efforts pour modéliser de la même façon la complexité de notre environnement, et tout particulièrement l’évolution des corps fluides (air, eau, magma, miel…). Les premières équations proposées par Euler en 1755 souffraient d’une limite : elles négligeaient la viscosité des fluides, cette propriété qui explique pourquoi le miel coule plus lentement que l’eau le long d’une cuillère inclinée. Comme le souligna d’Alembert, cette omission empêchait le modèle de rendre compte de phénomènes physiques essentiels tels que la traînée (qui freine une voiture ou un cycliste) et la portance (qui permet aux oiseaux comme aux avions de voler). Au cours des XVIIIᵉ et XIXᵉ siècles, plusieurs scientifiques, parmi lesquels Bernoulli, Navier, Stokes et Saint-Venant, ont progressivement affiné le modèle d’Euler. Ce sont les noms de Navier et de Stokes qui restent aujourd’hui attachés aux équations de la physique mathématique permettant de décrire ces fluides visqueux. Ces équations décrivent le champ de vitesses du fluide, une grandeur qui dépend à la fois de l’espace (la position) et du temps. Elles régissent la dynamique d’un fluide visqueux incompressible, en s’affranchissant par exemple de la propagation d’ondes acoustiques et sont utilisées dans les simulations numériques mais aussi pour interpréter les expériences comme les observations de phénomènes naturels ; il est possible d’ajouter un terme dans les équations de Navier-Stokes, dont la seule réalité consiste à être des abstractions mathématiques : on parle alors d’un forçage.
Pour autant, comme tout objet mathématique, ces équations sont justiciables d’une étude purement mathématique, totalement indépendante de l’utilité de cette équation pour les sciences physiques et les ingénieurs. Ainsi, au début du 20ᵉ siècles, les mathématiciens ont examiné trois propriétés fondamentales d’une telle équation et de ses solutions, existence, unicité et stabilité, caractéristiques de ce que Hadamard (1902) appelle un problème bien posé.
- (Existence) Peut-on s’assurer que ces solutions existent effectivement ? Une difficulté est que la nature de ces équations de Navier-Stokes ne permet pas d’exhiber une formule générale qui en fournirait une solution explicite, analytique.
- (Unicité) Peut-on s’assurer que ces solutions sont uniques, c’est-à-dire qu’à une configuration initiale du fluide donnée, il n’y a qu’une seule solution à ces équations ?
- (Stabilité) Est-ce qu’une configuration initiale voisine d’une configuration donnée conduit à une solution voisine ?
En 1934, Jean Leray démontre que si la vitesse initiale du fluide est d’énergie finie, il existe bien une solution d’énergie finie pour tout temps ultérieur. Si Leray laisse ouverte la question de l’unicité globale, il parvient néanmoins à prouver qu’avec des hypothèses de régularité supplémentaires sur la donnée initiale (et sur un éventuel forçage extérieur), il existe une unique solution stable, mais seulement sur un temps court. Son théorème ne décrit pas le comportement ultérieur de la solution : perd-elle son unicité ? Diverge-t-elle localement vers l’infini ? Depuis lors, de nombreux mathématiciens et mathématiciennes se sont attelés à ces questions d’unicité et singularités en temps fini, deux enjeux liés mais distincts.
Ici, il nous faut prendre le temps de définir ces concepts difficiles. Stabilité. Posons à la verticale un balai sur sa pointe. La position d’équilibre verticale existe mais est instable. Un tout petit écart à cet équilibre s’amplifie jusqu’à la chute du balai. Il en va de même en mécanique des fluides : ce n’est pas parce qu’une solution des équations existe qu’elle se produit dans le réel; dans de nombreuses situations, des perturbations infinitésimales (arbitrairement petites) s’amplifient et conduisent à un tout autre écoulement. Singularité en temps fini. Considérons une balle de ping-pong qui rebondit sur une table, avec un bruit caractéristique: la balle s’arrête soudainement (en temps fini) après que la fréquence des rebonds est devenue de plus en plus grande (on dit qu’elle diverge). Considérons maintenant une goutte se former au nez d’un robinet mal fermé. Un filet d’eau s’étire, formant un col (ou une hanche, si l’on préfère) entre le robinet et la petite accumulation d’eau qui deviendra la goutte, où le diamètre du filet d’eau est le plus petit. Ce diamètre minimal décroît au cours du temps jusqu’à l’instant précis où il s’annule. Il n’y a plus alors continuité entre la goutte, qui s’est détachée, et le petit bourrelet d’eau demeuré au nez du robinet. On dit qu’il y a singularité en temps fini. En physique, au voisinage de singularités des équations, il se passe toujours autre chose que ce que peut prédire l’équation. Pour la balle de ping-pong, il faut prendre en compte ses déformations, sa rugosité, etc. Pour la formation de gouttes, l’amincissement ne se produit que jusqu’à ce qu’il reste une hanche d’une molécule de large. Dernier exemple, l’effondrement d’une étoile massive en fin de vie sous l’effet de la gravité prédit par les équations d’Einstein pour la relativité générale conduit à un régime où les effets quantiques deviennent importants, et il y a non pas singularité mais formation de trous noirs.
La réponse à ces questions de régularité, d’unicité et de stabilité des équations de Navier-Stokes ne peut en aucun cas être présentée comme « la résolution » de ces équations. La mécanique des fluides du XXᵉ et XXIᵉ siècle fourmille de telles “résolutions”, comparées aux expériences visant à comprendre tous les aspects des écoulements de liquides et de gaz. Pour ne prendre que quelques exemples de phénomènes naturels, l’écoulement turbulent des rivières, le déferlement des vagues, la chute des gouttes de pluie, le vol des oiseaux, la nage des poissons, les tornades, la formation de dômes de chaleur caniculaire, la propagation du son… Physiciens et mécaniciens des fluides ont souvent recours à des méthodes élégantes de simplification qui rejoignent pour partie celles utilisées en mathématiques pour exhiber des singularités en temps fini : on parle de solutions de similitudes et de méthodes asymptotiques. Définissons solution auto-similaire à partir d’un exemple. Posons une goutte de miel sur une assiette, qui s’étale jusqu’à former une mince flaque. Sa hauteur décroît au cours du temps tandis que son rayon augmente, mais la forme demeure la même si l’on s’abstrait de ces questions de tailles. En prenant une photographie de côté du dôme de miel on peut produire l’image du dôme à un moment ultérieur en l’étirant horizontalement et en la comprimant verticalement. L’amincissement du filet d’eau avant détachement d’une goutte vérifie cette même propriété de forme invariante. (mais de dimensions spatiales variables). On parle de solution asymptotique auto-similaire : elle est identique une fois remise à l’échelle.
La régularité des équations de Navier-Stokes apparaît de ce point de vue comme un non-problème, tout l’art de l’approche physicienne tenant à adapter les équations aux régimes dans lesquels elles sont appliquées. Pour ne prendre qu’un exemple autrement plus fondamental pour l’humanité que l’IA, les équations utilisée pour décrire la dynamique atmosphérique ou la dynamique océanique, dynamiques fondamentales pour le climat, nécessitent d’ajouter à Navier-Stokes une équation pour l’énergie interne (ou de manière équivalente, pour la température). Il faut insister sur le primat du réel, de l’expérimentation, de la mesure, de dispositifs astucieux dans la majeure partie des découvertes dans ce champ du savoir. Dans quelques décennies, nous aurons toujours besoin des expériences de mécanique des fluides pour accéder au réel.
Revenons aux questions proprement mathématiques. En 1964 et à la suite de Leray, Fujita et Kato ont établi des conditions garantissant l’existence et l’unicité globale en temps (exigeant notamment une donnée initiale et un forçage suffisamment petits) ainsi que des critères d’explosion. Explosif signifie ici que la vitesse périphérique des tourbillons diverge à l’infini pendant que la taille du cœur tend vers 0. Comme chacun peut l’expérimenter dans un lavabo ou une baignoire, la convergence d’un écoulement vers la bonde amplifie la rotation du tourbillon de vidange. Ces travaux ont été progressivement affinés, notamment par Kato en 1984, puis par Cannone, Meyer et Planchon en 1994. Enfin, en 2001, Koch et Tataru identifient la régularité minimale à imposer à la condition initiale ou au forçage pour garantir l’existence et l’unicité des solutions en temps court, et pour tous les temps si la donnée et le forçage sont suffisamment petits. Les travaux des dernières décennies reposent sur la conjecture selon laquelle il serait possible d’exhiber des solutions autosimilaires explosives, en s’appuyant sur la dynamique tourbillonnaire. Si la possibilité d’une explosion purement autosimilaire a été écartée dans un travail de Nečas, Růžička et Šverák en 1994, les solutions mathématiques ont été recherchées à proximité de ces structures autosimilaires, de manière à produire un renforcement de cet étirement amplificateur, à rebours du comportement générique. Dans le cas du modèle compressible, de telles solutions qui sont de l’ordre de l’exception et non de la norme (on les dit pathologiques) ont été obtenues dans divers contextes ; la plus remarquable étant « l’implosion » construite en 2023 par Merle, Raphaël, Rodnianski et Szeftel. En parallèle, des travaux portant sur la non-unicité, tels que ceux de Jia et Šverák en 2014, Guillod et Šverák en 2017, ou encore Albritton, Brué et Colombo en 2021, ont creusé le même sillon. D’autres avancées ont été réalisées en étudiant des équations légèrement différentes et plus « simples », notamment par Córdoba et Martínez-Zoroa en 2024.
S’inspirant de ce programme de recherche, Buckmaster et Alpöge ont eu recours ces derniers mois à l’intelligence artificielle générative et agentique pour formaliser des solutions dans des modèles de plus en plus proches de Navier-Stokes incompressible, à commencer par les équations d’Euler (la version non visqueuse de Navier-Stokes). Les petites mains d’OpenAI ont alors été chargées par l’entreprise de prémâcher la formalisation du problème afin de la faire digérer par l’IA pour produire la construction d’une solution explosive de Navier-Stokes avec un forçage ad hoc. Le résultat s’avère dépourvu d’élégance, d’originalité et d’idées nouvelles mais tient de la technique. La preuve a été « vérifiée » via la production par cette même équipe de modules ad hoc pour l’assistant de preuve Lean — modules dont il reste encore à prouver qu’ils accomplissent réellement la tâche exigée.
Par delà le sentiment d’abjection, plusieurs remarques s’imposent sur la nature de ce qui a été produit. La pré-publication produite n’a pas été soumise au regard des pairs : elle n’est destinée qu’à produire un effet de propagande et de sidération reposant sur l’inculture scientifique et sur sa reprise sans distance par la chambre d’écho médiatique. Cette pré-publication aurait été rejetée après quelques semaines du fait de la bibliographie scandaleuse, niant l’état de l’art. Pour produire l’effet de propagande, elle occulte les centaines de chercheurs et de chercheuses qui ont passé des milliers d’heures à échanger autour d’un tableau, à publier des articles apportant leur sens à ces lignées de questions, mais aussi les idées autour de l’axisymétrie et des solutions de similitudes, en construisant un forçage donnant la non unicité, en étudiant des modèles voisins. Cette preuve est une étape technique sabotée, dépourvue d’éthique, dans un travail collectif de longue haleine. Elle ne se substitue pas aux résultats passés mais s’inscrit dans une continuité. Au vu de ce continuum de travaux, ces dernières contributions assistées par la machine nourrie du savoir pillé à l’humanité, la figure de Camille Noûs serait sans doute la seule légitime pour en revendiquer l’autorat. Toutefois, apposer la signature de Camille Noûs serait incompatible avec le manque manifeste d’éthique et d’intégrité qui caractérise cette démarche. Cette pré-publication aurait été rejetée du fait de l’accaparement pur et simple des idées et des savoirs produits par une communauté scientifique qui a besoin du temps long de la maturation et de la compréhension. Cette pré-publication aurait été rejetée du fait de l’auteur affiché (OpenAI), lequel occulte l’ensemble des salariés de l’entreprise qui ont contribué à la formalisation du problème technique et le pillage du savoir humain. La pré-publication ne propose aucune perspective alors même que les questions intéressantes posées dans ce fil de questions mathématiques demeurent entières. Que dire des solutions explosives? Nécessitent-elles un forçage ad hoc, pathologique ? La solution exhibée est-elle stable ? Y-a-t’il des singularités en temps fini dans Navier-Stokes (sans forçage) ? Le forçage construit est-il un point isolé dans l’espace des possibles ? Cette pré-publication ne témoigne d’aucun intérêt, elle présente plutôt du mépris, pour le problème de mathématiques. Il s’agit d’utiliser le fétichisme autour des récompenses (l’argent de la Fondation Clay, ici, mais on pourrait en dire autant des médailles Fields, des prix Nobels et a fortiori des prix de la banque de Suède) à des fins de propagande : bien plus que les équations de Navier-Stokes, ce sont la valorisation boursière, la menace d’un krach et le rejet populaire des data centers au cœur des midterms qui inquiètent les états-majors des Big Tech.
Si le problème a pu être bien posé, c’est aussi parce qu’il n’est qu’UN des innombrables problèmes, la plupart n’étant pas formalisés. Ainsi, la turbulence, nom donné au régime d’écoulement présentant des fluctuations spatiales et temporelles, régime omniprésent dans le monde réel, est un problème autrement plus important. Mais les problèmes posés par la turbulence ne peuvent se mettre sous la forme de questions récompensables. En recherche, les questions ne pré-existent que rarement à leur résolution et leur formalisation. La recherche n’est pas une démarche qui se réduit à une technique. Insistons sur le fait que la preuve construite en exhibant une singularité en temps fini de Navier-Stokes avec forçage ad hoc n’a rigoureusement aucune incidence ni sur la mécanique des fluides ni sur le monde réel. La preuve technique apportée n’a pas la moindre importance en physique. En revanche, les chemins empruntés par les mathématiciennes et mathématiciens pendant leur recherche, la démarche, les erreurs, les résultats intermédiaires et les outils construits sont nécessaires au développement de la mécanique des fluides, qui s’appuie sur l’expérience et sur le méta-langage mathématiques. Dans cette attaque prédatrice contre les mathématiques, la physique, qui est hors d’atteinte de l’IA puisqu’en prise sur le monde matériel, est totalement solidaire de la communauté mathématique.
In fine, nous sommes loin d’un supposé moment « DeepBlue-Kasparov » des sciences. Il ne reste finalement de ces productions automatisées que le goût âcre du travail mal fait, reflet de la volonté des pure players de l’IA de « disrupter » les mathématiques par leur inexorable merdification (enshittification). Il est essentiel de déjouer la propagande faisant de la prédation de la recherche par les Big Tech une fatalité. Cela suppose de ne pas séparer les questions scientifiques des intérêts de la Big Tech, dans le temps même où le monde de la finance s’alarme de l’absence probable de retours sur investissements.